Projeto ZK - Informática & Educação

Notas de aula - Ensino Médio - 2003

Considerações sobre conjuntos

Conjuntos de números

Números Reais, R

Conjuntos de números são importantes em matemática. De importância particular é o conjunto dos números reais, o qual será indicado por R

Uma propriedade dos números reais é que eles podem ser representados por pontos em uma linha reta. De modo mais específico, existe uma relação biunívoca entre os pontos na linha reta e os números reais; isto é, cada ponto da linha reta representará um único número real e cada número real será representado por um único ponto da reta.

Dentre as conseqüências disto, destaca-se a possibilidade de tratar de forma indistinta, pontos e números.

Para isso, escolhemos um ponto para representar o zero – denominado origem – e um outro ponto, geralmente à direita, para representar 1. Esta linha reta será denominada “reta real”.

Desse modo, os números à direita de 0 são chamados de números positivos e os números à esquerda de 0 são chamados números negativos. O número zero não é nem positivo e nem negativo. 

Finalmente, vamos estabelecer o seguinte: se nada for dito em contrário, então o conjunto dos números reais é o nosso “conjunto universal”.

Números Inteiros, Z

Números inteiros são os números reais ..., - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, ...; cujo conjunto será indicado pela letra Z. Portanto,

 Z = {..., - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

O conjunto dos números inteiros é “fechado” para as operações de adição, multiplicação e subtração; ou seja, a soma, produto e diferença de dois números inteiros é um número inteiro.

Quanto à operação divisão, o conjunto Z não é fechado. Em outras palavras, nem sempre o quociente de dois inteiros é um número inteiro como, por exemplo, é o caso de 2 e 5. Observe que 2 : 5 = 0,4 e 0,4 Ï Z.

 Finalmente, dentre os subconjuntos de Z, destacam-se os seguintes:

Z* = {..., - 3, - 2, -1, 1, 2, 3, ...} = Z – { 0 };

Z+  = { 0, 1, 2, 3, ...} ou conjunto dos nos inteiros não negativos

Z-  = {..., - 3, - 2, -1, 0 } ou conjunto dos nos inteiros não positivos;

Z*+  = { 1, 2, 3, ...} ou conjunto dos nos inteiros positivos

Z*-  = {..., - 3, - 2, -1 } ou conjunto dos nos inteiros negativos.

Números Racionais, Q

Números racionais são os números reais que podem ser expressos na forma de fração. O conjunto dos números racionais será indicado pela letra Q . De modo mais específico,

Q  = { x | x = p / q  onde p Î Z, q Î Z* }

Todo número inteiro é também um número racional. Por exemplo, 3 = 3/1 = 6/2 = .... Em outras palavras, Z é subconjunto de Q  (Z  Ì  Q ).

Além de fechado em relação as operações de adição, multiplicação e subtração, o conjunto dos números racionais é fechado em relação a operação divisão (exceto a divisão por zero). Portanto, a soma, produto, diferença e quociente (exceto por zero) de dois números racionais é um número racional.

Números Naturais, N

Números naturais são os números inteiros positivos. O conjunto dos números naturais será indicado pela letra N. Portanto,

N = { 1, 2, 3, ... }

Entre os números naturais e os demais conjuntos numéricos apresentados verificam-se as seguintes relações:

 N  Ì  Z  Ì  Q  Ì  R

O conjunto dos números naturais é fechado somente para as operações de adição e multiplicação. Portanto, a diferença e o quociente de dois números naturais nem sempre é um número natural. Por exemplo, 

2 - 6  = -4 e -4 Ï N

2 : 6 = 0,333... e 0,333... Ï N.

Dentre os subconjuntos de N , temos:

·   O conjunto dos números “primos”; ou seja, os números naturais maiores que 1, que são divisíveis por 1 e por ele mesmo.

 { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... };

·   O conjunto dos números pares; isto é, dos números naturais que são divisíveis por 2.

 { 2, 4, 6, 8, 10, 12 ,14 16, 18 ...}

Números Irracionais, I

Números irracionais são os números reais que não podem ser escritos na forma de fração.

0,101001000... ,

e = 2,718... ,

p = 3,14159265...

 

A reunião do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais produz o conjunto dos números reais. Em suma,

Intervalos

Considere o conjunto: A = { x Î R ; 2 £ x < 5 }.

Observe que A é um subconjunto de R  que possui os pontos situados entre 2 e 5, com exceção do 5. Chamamos a isto de intervalo de conjunto, sendo 2 e 5 denominados extremos do intervalo. Como 2 pertence ao conjunto A e 5 não pertence ao conjunto A dizemos que o conjunto A é um intervalo fechado em 2 e aberto em 5.

Para indicar intervalos existem ainda duas outras notações. A notação abreviada

A = [2, 5) - onde o colchete indica que o intervalo é fechado e o parênteses indica que o intervalo é aberto - e a notação gráfica. De modo específico, sombreamos o segmento de reta formado pelos extremos do intervalo (pontos 2 e 5), além de fazer um pequeno círculo no extremo em que o intervalo é aberto (ponto 5); ou seja,

Finalmente, existem os intervalos do tipo A = { x Î R ; x £ 1 } ou B = { x Î R ; x > 1}. Para intervalos desta natureza, utilizaremos a seguinte notação abreviada: A = ( -¥, 1 ] e B = ( 1, +¥ ).

Quanto a representação gráfica desses intervalos, temos

A = ( -¥, 1 ]

B = ( 1, +¥ ).

 

 

 

 

Creative Commons License
Projeto ZK - Informática & Educação by José Eduardo Ferreira da Silva is licensed under a Creative Commons Atribuição-Uso Não-Comercial-Vedada a Criação de Obras Derivadas 3.0 Brasil License.
Based on a work at www.projetozk.com.
Permissions beyond the scope of this license may be available at http://www.projetozk.com.